क्रमागत संख्याओं का औसत समझना

प्रश्न में 5 क्रमागत संख्याओं के औसत के बारे में बताया गया है। क्रमागत संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो एक के बाद एक आती हैं, जैसे 1, 2, 3 या 10, 11, 12।

मान लीजिए कि 5 क्रमागत संख्याएँ हैं। यदि हम औसत को 'n' कहते हैं, तो हम इन संख्याओं को इस प्रकार दर्शा सकते हैं:

• सबसे छोटी संख्या: $n-2$
• दूसरी संख्या: $n-1$
• तीसरी (मध्य) संख्या: $n$
• चौथी संख्या: $n+1$
• पांचवीं संख्या: $n+2$

इन 5 संख्याओं का योग होगा:

$(n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) = 5n$

और इनका औसत होगा:

$\text{औसत} = \frac{\text{योग}}{\text{संख्या}} = \frac{5n}{5} = n$

यह प्रश्न में दी गई जानकारी से मेल खाता है कि 5 क्रमागत संख्याओं का औसत 'n' है। इसका मतलब है कि 'n' वास्तव में इन 5 संख्याओं में से मध्य संख्या है।

अगली दो संख्याओं को शामिल करना

अब, हमें इस श्रृंखला में अगली दो क्रमागत संख्याओं को शामिल करने के लिए कहा गया है। चूंकि हमारी पहली 5 संख्याएँ $n-2, n-1, n, n+1, n+2$ थीं, तो अगली दो संख्याएँ होंगी:

• छठी संख्या: $n+3$
• सातवीं संख्या: $n+4$

अब हमारे पास कुल 7 संख्याएँ हैं:

$n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3, n+4$

7 संख्याओं का नया औसत

हमें इन 7 संख्याओं का नया औसत ज्ञात करना है। सबसे पहले, हम इन 7 संख्याओं का योग ज्ञात करेंगे:

$\text{7 संख्याओं का योग} = (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$

हम देख सकते हैं कि $-2, -1, +1, +2$ एक दूसरे को रद्द कर देते हैं। तो योग सरल हो जाता है:

$\text{7 संख्याओं का योग} = n + n+3 + n+4 = 5n + (n+3) + (n+4)$

$\text{7 संख्याओं का योग} = 5n + 2n + 7 = 7n + 7$

अब, हम 7 संख्याओं का नया औसत ज्ञात कर सकते हैं:

$\text{नया औसत} = \frac{\text{7 संख्याओं का योग}}{7} = \frac{7n + 7}{7}$

इस भिन्न को सरल बनाने पर:

$\text{नया औसत} = \frac{7(n+1)}{7} = n+1$

औसत में परिवर्तन की गणना

हमने पाया है कि:

• मूल औसत (5 संख्याओं का) = $n$
• नया औसत (7 संख्याओं का) = $n+1$

औसत में परिवर्तन की गणना करने के लिए, हम नए औसत से मूल औसत घटाते हैं:

$\text{औसत में परिवर्तन} = (\text{नया औसत}) - (\text{मूल औसत})$

$\text{औसत में परिवर्तन} = (n+1) - n$

$\text{औसत में परिवर्तन} = 1$

निष्कर्ष

जब अगली दो क्रमागत संख्याएँ शामिल की जाती हैं, तो 7 संख्याओं का औसत 1 से बढ़ जाता है।