A और B का अनुपात ज्ञात करना

इस प्रश्न में, हमें दो संख्याएँ A और B के बीच का अनुपात ($A:B$) पता लगाना है। हमें यह जानकारी दी गई है कि A के $5\%$ और B के $4\%$ का जो योग है, वह A के $6\%$ और B के $8\%$ के कुल योग का $\frac{2}{3}$ (दो-तिहाई) है।

समस्या को गणितीय समीकरण में बदलना

सबसे पहले, हम प्रश्न में दी गई जानकारी को गणितीय रूप में लिखते हैं। प्रतिशत का मतलब $100$ में से होता है, इसलिए:

• A का $5\% = \frac{5}{100} \times A$
• B का $4\% = \frac{4}{100} \times B$
• A का $6\% = \frac{6}{100} \times A$
• B का $8\% = \frac{8}{100} \times B$

प्रश्न के अनुसार शर्त यह है:

$ \left( \frac{5}{100}A + \frac{4}{100}B \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{6}{100}A + \frac{8}{100}B \right) $

समीकरण को हल करना

अब हम ऊपर दिए गए समीकरण को हल करके A और B का अनुपात निकालेंगे:

1. समीकरण को सरल बनाने के लिए, हम दोनों पक्षों को $100$ से गुणा कर सकते हैं ताकि प्रतिशत के नीचे वाले $100$ हट जाएँ:

   $ 100 \times \left( \frac{5}{100}A + \frac{4}{100}B \right) = 100 \times \frac{2}{3} \left( \frac{6}{100}A + \frac{8}{100}B \right) $

   $ 5A + 4B = \frac{200}{3} \left( \frac{6A + 8B}{100} \right) $

   $ 5A + 4B = \frac{2}{3} (6A + 8B) $

2. अब, समीकरण के दाहिने पक्ष में $\frac{2}{3}$ को $6A$ और $8B$ से गुणा करें:

   $ 5A + 4B = \left( \frac{2}{3} \times 6A \right) + \left( \frac{2}{3} \times 8B \right) $

   $ 5A + 4B = \frac{12}{3}A + \frac{16}{3}B $

   $ 5A + 4B = 4A + \frac{16}{3}B $

3. अब, A वाले पदों को समीकरण के एक तरफ (बाएं पक्ष) और B वाले पदों को दूसरी तरफ (दाएं पक्ष) ले जाएँ:

   $ 5A - 4A = \frac{16}{3}B - 4B $

4. दोनों तरफ के पदों को हल करें:

   $ A = \left( \frac{16}{3} - 4 \right) B $

   $ A = \left( \frac{16}{3} - \frac{12}{3} \right) B $

   $ A = \left( \frac{16 - 12}{3} \right) B $

   $ A = \frac{4}{3} B $

5. A और B का अनुपात ($A:B$) निकालने के लिए, समीकरण को $\frac{A}{B}$ के रूप में लिखें:

   $ \frac{A}{B} = \frac{4}{3} $

इसका मतलब है कि A और B का अनुपात $4:3$ है।

निष्कर्ष

हल करने पर, हमने पाया कि A और B का अनुपात $\frac{4}{3}$ है, जो कि $4:3$ के बराबर है।